ЛЕКЦІЯ 7
Теорія лишків та її застосування
§ 1. Класифікація та дослідження особливих точок однозначної аналітичної функції
Означення 1. Особлива точка аналітичної функції називається ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , якщо в деякому її околі не має інших особливих точок функції .
Лема 1 (про усувну особливість). Нехай функція неперервна в об-ласті і аналітична в області , за виключенням точок кривої . Тоді функція є аналітичною і в точках кривої , тобто у всій області .
Зауважимо, що крива , зокрема, може бути і однією точкою .
Означення 2. Ізольована особлива точка однозначного характеру функції називається:
1) усувною особливою точкою, якщо існує скінчена границя ;
2) полюсом, якщо ;
3) істотно особливою точкою, якщо не існує.
Усувна особлива точка
Нехай точка є усувною особливою точкою функції . Тоді (і надалі) вважатимемо, що . Відповідно до леми 1 функція є аналітичною в точці , тобто в крузі . Тому усувну особливу точку називають також неособливою, тобто аналітичною.
Приклад 1. Визначити характер особливої точки функції
▪ Для функція . Ця функція є аналі-тичною в точці і . Отже, є усувною особливою точкою функції . ▪
Нехай точка є усувною особливою точкою функції . Тоді (і надалі) вважатимемо, що , і точку будемо також називати неособливою, тобто аналітичною.
Означення 3. Точка називається аналітичною точкою функції , якщо функція є аналітичною в кільці і існує скінчена границя .
Приклад 2. Визначити характер особливої точки функції .
▪ У кільці функція є аналітичною і . Отже, є усувною особливою точкою функції , тобто аналітичною точкою. ▪
Полюс
Лема 2. Нехай точка є полюсом функції . Тоді існує таке чис- ло , що
, (1.1)
де – аналітична в точці функція. Число називається порядком або кратністю полюса .
Щоб знайти порядок полюса функції в точці , необхідно визначити кратність нуля функції в точці і подати функцію у вигляді (1.1).
Приклад 3. Визначити порядок полюса функції .
▪ Визначимо кратність нуля функції в точці . Розвинемо функцію в ряд за степенями :
.
Отже, і точка є нулем функції кратності 2 і полюсом функції порядку 2. ▪
Приклад 4. Визначити порядок полюса функції .
▪ Оскільки функції аналітичні в точці і , то функція є аналітичною в точці і . Для будь-якого з проколеного околу точки маємо, що . Отже, – полюс третього порядку функції . ▪
Нехай точка є полюсом функції , тобто функція є ана-літичною в кільці і . Тоді функція є аналітичною в кільці і , тобто є полюсом функції . Тому існує таке натуральне число , що , де – аналітична в точці функція. Тоді , тобто
, (1.2)
де функція – аналітична в точці . Число називається порядком полюса функції в точці .
Отже, щоб знайти порядок полюса функції в точці , необхідно знайти порядок полюса функції в точці і подати функцію у вигляді (1.2).
Приклад 5. Визначити порядок полюса функції .
▪ Покладемо і . Точка є полюсом 1-го порядку функції . Отже, – полюс 1-го порядку функції . ▪
Приклад 6. Показати, що є істотно особливою точкою функцій та .
▪ Обидві функції є аналітичними в області . Але їх границі при не існують (; не існує). ▪
Зауваження. Якщо точка є полюсом функції , то ця точка є істотно особливою для функції .
Дослідження особливих точок часто зручно проводити, замінивши дану функцію більш простою еквівалентною функцією.
Означення 4. Функції і називаються еквівалентними при , якщо вони аналітичні у проколеному околі точки і .
У цьому випадку записують: ~ при .
Наприклад, з формули (1.1) випливає, що ~ при .
Приклад 7. Визначити особливі точки функції .
▪ Особливими точками функції є точки, в яких дана функція не визначена і тому не аналітична, тобто точки, в яких знаменник функції дорівнює нулю. Розв’язавши рівняння , знаходимо, що . Крім того, точка також є особливою точкою, оскільки...
